Як розв’язати систему лінійних рівнянь

Лінійне рівняння - це рівняння, яке графічно відображає пряму. Система лінійних рівнянь - це коли є два або більше лінійних рівнянь, згрупованих разом.

Для спрощення ілюстрації ми розглянемо системи двох рівнянь. Як випливає з назви, існує дві невідомі змінні. Часто вони позначаються буквами х і у . Якщо рівняння описують якийсь процес, літери можна вибирати за ролями, які вони виконують. Наприклад, d може означати відстань, а t - час.

У цій статті ми дізнаємося, як розв’язувати системи лінійних рівнянь за допомогою двох цікавих методів. Але перед тим, як розпочати, давайте подивимось, як ми отримуємо конкретну систему, подивившись на реальний приклад життя.

Виведення системи

Хлопчик сідає на велосипед і починає їздити до школи. Він щохвилини їде на 200 ярдів.

Через 6 хвилин його мати розуміє, що її син забув обід. Вона сідає на власний велосипед і починає слідувати за хлопчиком. Вона щохвилини їде на 500 ярдів (вона олімпійка та золота медалістка).

Ми хочемо з'ясувати, скільки часу потрібно матері, щоб наздогнати хлопчика, і скільки їй потрібно їхати, щоб це зробити.

Оскільки хлопчик охоплює 200 ярдів кожну хвилину, в т хвилин він буде охоплювати 200 раз т ярдів, або 200T ярдів.

Його мати починає їздити на велосипеді через 6 хвилин, тому вона їде протягом (t - 6) хвилин. Оскільки вона покриває 500 ярдів щохвилини, за (t - 6) хвилин вона покриває 500 разів (t - 6) ярдів або 500 (t - 6) ярдів.

До того часу, коли вона наздоганяє його, вони обоє подолали однакову відстань. Скажімо, поки що відстань d .

Для хлопчика ми маємо   d = 200т, а для його матері d = 500 (t - 6) . Тепер у нас є наша система двох рівнянь.

Часто додають фігурні дужки, щоб вказати, що рівняння утворюють систему.

А тепер давайте подивимося, як ми можемо вирішити цю систему.

Розв’язування заміною

Перший метод, який ми розглянемо, використовує заміну .

У нас тут є дві невідомі, d і t . Ідея полягає в тому, щоб позбутися однієї змінної, виразивши її за допомогою іншої змінної.

Верхнє рівняння говорить нам, що d = 200t , тому давайте підключимо 200t для d у нижньому рівнянні. Як результат, ми маємо рівняння лише зі змінною t .

Спочатку розширюємо праву сторону: 500 (т -6) = 500т - 500 * 6 = 500т - 3000 .

Потім ми спрощуємо, переміщаючи невідомих членів в одну сторону, а відомих членів в іншу. Результат: 500т - 200т = 3000 .

Вирішення для t дає нам t = 10 , або оскільки ми вимірюємо час у хвилинах, t = 10 хвилин . Іншими словами, мати наздожене сина за 10 хвилин.

Друга частина нашої проблеми - з’ясувати, як далеко їй довелося їздити на велосипеді, щоб наздогнати його.

Щоб відповісти на це запитання, нам потрібно знайти d . Підставивши t = 10 в будь-якому рівнянні, ми отримаємо таку відповідь.

Щоб полегшити це, давайте скористаємось рівнянням зверху, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Оскільки ми вимірюємо відстань у ярдах, d = 2000 ярдів .

Давайте перевіримо ваше розуміння поки що - спробуйте самостійно вирішити наступну систему:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Виберіть 1 відповідь


x = 3 та y = 6
x = 1 і y = 2
x = 6 та y = 3
x = 1/2 та y = 2/3
Подати

У вищенаведеній системі невідомими змінними є x та y .

З рівняння зверху ми знаємо, що y = 2x . Підставивши це до нижнього рівняння, ми отримаємо 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Як тільки ми розширимо та спростимо, отримаємо 4х = 3х + 3 . Або х = 3 . Отже, y = 2 * 3 = 6 .

Вирішення графіком

Другий метод, який ми розглянемо, використовує графік ,де ми знаходимо рішення системи рівнянь шляхом їх графічного відображення.

Для прикладу візьмемо таку систему: y = 2x + 3 і y = 9 - x .

Графік кожного рівняння буде лінією. Перший для y = 2x + 3 виглядає так:  

Далі ми можемо побудувати графік лінії для y = 9 - x :  

Ці дві прямі перетинаються рівно в одній точці. Цей пункт є єдиним рішенням обох рівнянь:

Впорядкована пара (2, 7) дає нам координати нашої точки перетину. Ця пара є рішенням системи. Підставивши x = 2 та y = 7 , ми переконаємось у цьому.

Що робити, якщо графіки паралельні і взагалі не перетинаються? Наприклад:

Коли графіки рівнянь не перетинаються, це означає, що наша система не має рішення. Спроба вирішити заміною доведе це.

Результатом x - 1 = x - 3 буде 0 = -2 , що завжди є помилковим .

Але що, якщо два графіки однакові і знаходяться безпосередньо один на одному?

У таких випадках існує нескінченна кількість точок перетину. Це означає, що наша система має нескінченну кількість рішень. Використання методу заміщення доведе, що.

Результат x - 2 = x - 2 дорівнює 0 = 0 , що завжди відповідає дійсності .

Більше практики

Спробуйте використовувати як методи заміщення, так і графіки, щоб вирішити наступні системи. Ці методи доповнюють один одного і допоможуть вам закріпити свої знання.

{

y = 2

3y - 2x = 4

Виберіть 1 відповідь


Система не має рішення
x = 1/2 та y = 1
x = 1 і y = 2
x = 0 та y = 2
Подати

Вибір певної змінної для заміни повинен спростити пошук рішення.

Спробуйте висловити x з двома іншими членами у верхньому рівнянні, а потім підставте результат у нижнє рівняння. Так ви уникнете спілкування з дробами.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Виберіть 1 відповідь


x = 5 та y = 5/2
x = 1 і y = 2
x = 1 та y = 1
x = 2 та y = 1
Подати

Давайте зробимо ще один виклик:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Виберіть 1 відповідь


x = -2 та y = 1
Нескінченна кількість рішень
x = 2 та y = -1
x = -1/6 та y = 6
Подати

Тепер, коли ви знаєте достатньо про заміщення та графіки, вийдіть і вирішіть більше лінійних рівнянь.