Математика дробу: Як робити дроби для початківців

Ми маємо справу з дробами щодня. Але що ж таке дріб? Як ми можемо пізнати їх ближче? У цьому підручнику ми разом вивчимо основи та практикуємось, тому фракції можуть стати цінними помічниками у повсякденному житті та не тільки.

Частина 1. Дріб як частка

Давайте уявимо цілий пиріг, розділений на 4 рівні частини. Одна частина заштрихована червоним.

Одна червона частина з чотирьох рівних частин означає, що 1/4 цілого затінено. Якщо ми розглядаємо рівні частини цілого як частки, одна частка пирога тут відтіняється червоним.

Число 1 над рядком називається Нумератором . Це показує, скільки акцій затінено. Цифра 4 під рядком називається знаменником . Він показує, на скільки рівних часток поділено ціле. Давайте розглянемо ще один приклад.

Новий пиріг вище розділений на 6 рівних часток. Отже, знаменник дорівнюватиме 6. Із цих 6 рівних часток 3 відтіняються червоним. Отже, чисельник буде дорівнювати 3. Іншими словами, 3/6 пирога затінено.

А тепер давайте перевіримо те, що ми дізналися до цього часу. Як відомо, цілий день буває 24 години. Якщо ви витратили 6 годин на навчання, яку частку дня ви витратили на навчання?

Яка частка доби становить 6 годин?

Виберіть 1 відповідь


6/24
6
1/3
1/6
Подати

День поділяється на 24 рівні частки, які називаються годинами. Отже, знаменнику буде 24. Подумайте про 6 годин, витрачених на вивчення, як про 6 затінених часток пирога. Це зробить Чисельник рівним 6. Частка, яку ми шукаємо, дорівнює 6/24 .

Частина 2. Спрощення дробів

Пам'ятаєте пиріг з попереднього прикладу? На ньому було 3/6 затіненого червоним кольором. Давайте додамо два нові пироги і розглянемо їх разом.

Перший пиріг розділений на 4 частки, а дві заштриховані червоним. Але як ми бачимо, це половина пирога. Другий пиріг розділений на 6 часток, а три заштриховані червоним. Знову половина пирога. Нарешті, третій пиріг ділиться на дві половини, а одна половина затінюється червоним.

Оскільки це половина пирога, що затінено в будь-якому випадку, ми можемо зробити висновок, що частки рівні: 2/4 = 3/6 = 1/2 .

Нарешті, помноживши чи розділивши чисельник і знаменник на одне і те ж число, дріб залишиться незмінним (за винятком випадку, коли ділення дорівнює нулю, що виходить за рамки цієї статті і тут не розглядається).

Це правило допомагає спростити дроби та полегшує їх використання. Як приклад, розглянемо 4/12. Поділивши чисельник і знаменник на 4, отримаємо (4: 4 ) / (12: 4 ) = 1/3. Пора перевірити свої знання.

Який дріб збігається з 2/5?

Виберіть 1 відповідь


4/25
5/2
8/20
6/10
Подати

Частина 3. Порівняння дробів

Коли ми бачимо два шматки пирога, ми зазвичай можемо визначити, який з них більший. Подібно до дробів існує простий спосіб порівняння їх між собою.

Скажімо, нам потрібно порівняти 1/3 та 2/7. Оскільки вони мають різні знаменники, вони мають різну кількість частин. Тож Першим кроком має бути пошук спільної мови . Ми робимо це, знаходячи спільний знаменник .

Одним із методів пошуку спільного знаменника двох або більше дробів є множення знаменників між собою. 3 рази 7 = 21 .

Тепер, коли ми знайшли спільний знаменник, нам потрібно замінити власний знаменник кожного дробу загальним.

Перший дріб дорівнює 1/3, тому ми ділимо 21 на 3 і отримані 7 помножуємо на цей чисельник дробів. Оскільки чисельник дорівнює 1, отримуємо 7 разів 1 = 7 .

Другий дріб дорівнює 2/7, тому 21, поділений на 7, призводить до 3. Помноживши в 3 рази цей чисельник дробу, отримаємо 3 рази 2 = 6 .  

Тепер, коли дроби мають однаковий знаменник, ми нарешті можемо їх порівняти. 7 акцій - це більше 6 акцій, отже 7/21 більше 6/21.

Математичним символом, що позначає наш результат, є знак > . 7/21> 6/21 . Це читається як " більше ніж ". Символ, що позначає менше, виглядає так: < . Ми можемо переписати наш результат так: 6/21 <7/21 .

Порівняйте 3/4 та 5/7

Виберіть 1 відповідь


3/4 менше 5/7
3/4 більше, ніж 5/7
3/4 дорівнює 5/7
Їх не можна порівняти
Подати

Частина 4. Додавання дробів

Щоб додати дроби, нам знову потрібно знайти спільний знаменник. Давайте розглянемо наступний приклад.

Нам потрібно додати 2/7 і 3/9 . Спільний знаменник дорівнює 7 разів 9 = 63 . Наступним кроком буде заміна власного знаменника кожного дробу на загальний.

Для першого дробу 63 розділити на 7 = 9 і 9 помножити на 2 = 18 . Результат - 18/63 . Для другого - 63, поділене на 9 = 7 та 7 по 3 = 21 . Результат 21/63 .

Далі додаємо числівники. 18 плюс 21 = 39, що залишає нам суму 39/63 .

Як корисна звичка, завжди перевіряйте, чи можна додаткову спрощувати отриману дріб.

Ми знаємо, що 39 рівномірно ділиться на 3. 63 також рівномірно ділиться на 3. Оскільки і чисельник, і знаменник діляться на одне і те ж число, дріб залишатиметься однаковим. 39 ділиться на 3 = 13 і 63 ділиться на 3 = 21 . Наш остаточний результат - 13/21 .

Що робити, якщо нам потрібно додати змішані числа? Щоб додати змішані числа, ми спочатку додаємо цілі числа разом, а потім дроби.

Наприклад, щоб додати 1 з половиною до 2 з половиною , додайте 1 і 2 = 3 , а потім додайте 1/2 і 1/2 = 1 . Нарешті, додаємо 3 і 1 = 4 . Давайте трохи попрактикуємося і згадаємо, як спростити результати.

Який результат 4/6 + 2/9?

Виберіть 1 відповідь


8/9
9/8
1/2
7/18
Подати

Частина 5. Віднімання дробів

Ми почнемо з двох простих дробів. Відніміть 1/3 від 3/5. Як і у випадку додавання, нам потрібно знайти спільний знаменник. Отже, якщо помножити наші знаменники, це дорівнює 3 рази 5 = 15 .

Далі замінюємо старі знаменники загальними.  

Тоді нам потрібно знайти наші числівники. Для першого дробу 15 ділиться на 5 = 3 і 3 рази 3 = 9 . Результат - 15.09 . Для другого - 15, поділене на 3 = 5 і 5 разів на 1 = 5 . Результат - 5/15 .

Останній крок - відняти скориговані чисельники: 9 мінус 5 = 4. Отримана частка дорівнює 4/15 .  

Давайте тепер розглянемо випадок, коли нам потрібно відняти дріб від цілого числа. Почнемо з 1 - 2/7 .

З попередніх розділів ви пам’ятаєте, що ціле число схоже на пиріг, який повністю затінений. Таким чином, якщо пиріг розділити на 3 частини, всі 3 частини розтушовуються. Якщо його розділити на 7 частин, тоді 7 частин будуть затінені. Отже, 1 = 3/3 = 7/7 тощо.

Оскільки нам потрібно відняти 2/7 , ми перетворимо 1 ціле в 7/7, щоб полегшити наше завдання. 7/7 мінус 2/7 = 5/7 . Якщо ціле число відрізняється від 1 , ми записуємо його як змішане число і виконуємо дії з останнього прикладу.

Отже, віднімемо 2/7 від 3 .

Часто в результаті обчислень ми можемо потрапити з дробом, де чисельник більше або дорівнює знаменнику. Такі дроби називаються неправильними дробами. Наприклад 5/3 (п’ять третин), 7/2 (сім половинок) тощо. Їх можна перетворити на змішані числа і навпаки.

Усі розглянуті на сьогодні правила стосуються і неправильних дробів.

Який результат 9/11 - 3/4?

Виберіть 1 відповідь


6/7
6/44
3/44
6/11
Подати

Частина 6. Множення дробів

Припустимо, нам потрібно помножити дві частки, 2/5 по 3/7 . Чисельник продукту буде продуктом чисельнику цих фракцій: 2 рази 3 = 6. знаменник продукту буде твором знаменників цих фракцій: 5 раз 7 = 35 . Таким чином, 2/5 по 3/7 = 6/35 .

Якщо нам потрібно помножити дріб на ціле число , чисельник добутку буде добутком чисельника дробу і цілого числа . Знаменник продукту залишатиметься таким же , як знаменник дробу .

Наприклад, 3/10 по 5 = 15/10 . Для спрощення ділимо чисельник і знаменник на 5 і отримуємо 3/2.

Нарешті, якщо нам потрібно помножити змішані числа, спочатку ми перетворюємо їх у неправильні дроби, а потім множимо, як це було зроблено вище. У прикладі нижче показано кроки.

Частина 7. Дільні дроби

Щоб розділити дроби, переверніть дільник, щоб його чисельник став новим знаменником, а знаменник - новим чисельником . Тоді просто помножте дроби, як це було раніше.

Наприклад, розділити 3/7 на 2/5. Після перегортання 2/5 стає 5/2, і ми закінчуємо множенням 3/7 по 5/2 = 15/14 .

Щоб поділити дріб на ціле число, ми інвертуємо це число, і воно стає 1, поділене на це число .

Наприклад, 2 стає 1/2 , 9 стає 1/9 тощо. Далі ми множимо, як зазначено вище. Як ви вже здогадалися, ділення змішаних чисел працює однаково. Давайте розглянемо приклад нижче.

Давайте перевіримо ваші знання.

Який результат 11/3 ділиться на 11/7?

Виберіть 1 відповідь


3/7
3
7
7/3
Подати

Частина 8. Деякі практичні приклади

Для того, щоб знайти частку деякого числа, нам потрібно помножити дане число на цю частку .

Уявіть, ваш шкільний підручник має 200 сторінок. Якщо ви прочитали 3/5 підручника, скільки сторінок ви прочитали? Нам дається число, яке дорівнює 200. Щоб знайти 3/5 з 200, ми множимо 200 в 3/5 і отримуємо   120 сторінок.

Вирішіть наступне питання самостійно. У моєму іменинному торті було 12 штук. Кілька друзів підійшли і насолодилися 2/3 торта. Скільки штук було у моїх друзів?

Скільки штук було у моїх друзів?

Виберіть 1 відповідь


2/3
4
9
8
Подати

Нарешті, є ще одна справа, яку я хочу дослідити. Що, якби ми знали, що данечастка деякихчисло дорівнює, і нам потрібно знайти це число?

Наприклад, ми знаємо , мої друзі були 8 шматків торта на день народження , і це було 2/3 від всього пирога . Скільки штук було у торта на початку? Для того, щоб знайти ціле число , нам потрібно розділити 8 на 2/3 , тобто 12 .

Вирішіть наступне питання самостійно. Гоночний автомобіль проїхав 900 метрів по трасі, що становить 3/5 всієї відстані. Яка довжина гоночної траси?  

Яка довжина гоночної траси?

Виберіть 1 відповідь


1200 метрів
1500 метрів
2700 метрів
540 метрів
Подати