Що пояснюється нотацією Big O: Складність простору та часу

Ви справді розумієте Big O? Якщо так, то це освіжить ваше розуміння перед співбесідою. Якщо ні, не хвилюйтеся - приєднуйтесь і приєднуйтесь до нас, щоб зробити деякі зусилля в галузі інформатики.

Якщо ви проходили курси, пов’язані з алгоритмами, ви, напевно, чули про термін Нотація великих значень . Якщо ви цього не зробили, ми розглянемо це тут, а потім глибше зрозуміємо, що це насправді.

Позначення Big O є одним з найбільш фундаментальних інструментів для вчених-інформатиків для аналізу вартості алгоритму. Це хороша практика для інженерів програмного забезпечення також розуміти поглиблено.

Ця стаття написана з припущенням, що ви вже вирішили певний код. Крім того, деякі поглиблені матеріали також вимагають основ математики в середній школі, і тому можуть бути трохи менш зручними для початківців. Але якщо ви готові, давайте почнемо!

У цій статті ми проведемо глибоку дискусію про позначення Big O. Ми почнемо з прикладу алгоритму, щоб відкрити наше розуміння. Потім ми трохи підемо в математику, щоб мати офіційне розуміння. Після цього ми розглянемо деякі загальні варіанти позначення Big O. Врешті-решт, ми обговоримо деякі обмеження Big O на практичному сценарії. Зміст можна знайти нижче.

Зміст

  1. Що таке нотація Big O і чому це важливо
  2. Формальне визначення позначення Big O
  3. Великий О, Маленький О, Омега та Тета
  4. Порівняння складності між типовими великими ОС
  5. Складність часу та простору
  6. Найкраща, середня, найгірша, очікувана складність
  7. Чому Big O не має значення
  8. Наприкінці…

Тож давайте почнемо.

1. Що таке Big O Notation і чому це важливо

«Позначення Big O - це математичне позначення, яке описує обмежувальну поведінку функції, коли аргумент прагне до певного значення або нескінченності. Він є членом сімейства нотацій, винайдених Полом Бахманом, Едмундом Ландау та іншими, які спільно називаються позначеннями Бахмана – Ландау або асимптотичними позначеннями. "- визначення Вікіпедії позначення Великого О

Простими словами, позначення Big O описує складність вашого коду, використовуючи алгебраїчні терміни.

Щоб зрозуміти, що таке позначення Великого О, ми можемо поглянути на типовий приклад, О (n²) , який зазвичай вимовляється як «Великий О в квадраті» . Буква «n» тут представляє розмір вводу , а функція «g (n) = n²» усередині «O ()» дає нам уявлення про те, наскільки складний алгоритм щодо розміру вводу.

Типовим алгоритмом, який має складність O (n²), є алгоритм сортування вибору . Сортування виділення - це алгоритм сортування, який перебирає список, щоб переконатись, що кожен елемент з індексом i є i-м найменшим / найбільшим елементом списку. Наведений нижче CODEPEN дає наочний приклад цього.

Алгоритм може бути описаний наступним кодом. Для того, щоб переконатися, що i-й елемент є i-м найменшим елементом у списку, цей алгоритм спочатку перебирає список за допомогою циклу for. Тоді для кожного елемента він використовує інший цикл for, щоб знайти найменший елемент у іншій частині списку.

SelectionSort(List) { for(i from 0 to List.Length) { SmallestElement = List[i] for(j from i to List.Length) { if(SmallestElement > List[j]) { SmallestElement = List[j] } } Swap(List[i], SmallestElement) } }

У цьому сценарії ми розглядаємо змінну List як вхідні дані, отже, розмір вводу n - це кількість елементів всередині List . Припустимо, що оператор if і присвоєння значення, обмежене оператором if, займає постійний час. Тоді ми можемо знайти великий O-запис для функції SelectionSort, проаналізувавши, скільки разів виконуються оператори.

Спочатку внутрішній цикл for запускає оператори всередині n разів. А потім, після збільшення i , внутрішній цикл for працює n-1 рази……, поки не запуститься один раз, тоді обидва цикли for досягнуть своїх кінцевих умов.

Це насправді дає нам геометричну суму, і, маючи математику середньої школи, ми виявимо, що внутрішній цикл буде повторюватися 1 + 2 ... + n разів, що дорівнює n (n-1) / 2 рази. Якщо ми помножимо це, то в підсумку отримаємо n² / 2-n / 2.

Коли ми обчислюємо великі нотації O, ми дбаємо лише про домінуючі доданки , і ми не дбаємо про коефіцієнти. Таким чином, ми приймаємо n² як остаточне велике O. Ми пишемо його як O (n²), що знову вимовляється як «Велике O в квадраті» .

Зараз ви можете задатися питанням, про що взагалі цей «панівний термін» ? І чому нас не хвилюють коефіцієнти? Не хвилюйтеся, ми переглянемо їх по одному. На початку це може бути трохи важко зрозуміти, але все це матиме набагато більше сенсу, коли ви читатимете наступний розділ.

2. Формальне визначення позначення Big O

Колись був індійський король, який хотів нагородити мудрого за його досконалість. Мудрий чоловік не просив нічого, крім пшениці, яка могла б заповнити шахову дошку.

Але тут були його правила: у першій плитці він хоче 1 зерно пшениці, потім 2 у другій плитці, потім 4 у наступній ... кожна плитка на шаховій дошці повинна була бути заповнена подвоєною кількістю зерен, як попередня один. Наївний король без вагань погодився, думаючи, що це буде тривіальна вимога, поки він насправді не продовжить і не спробує ...

То скільки пшеничних зерен цар винен мудрому? Ми знаємо, що шахова дошка має 8 квадратів на 8 квадратів, що становить 64 плитки, тож остання плитка повинна мати 2⁶⁴ зерна пшениці. Якщо ви зробите розрахунок в Інтернеті, то в підсумку ви отримаєте 1,8446744 * 10¹⁹, тобто приблизно 18, а потім 18 нулів. Якщо припустити, що кожне зерно пшениці важить 0,01 грам, це дає нам 184 467 440 737 тонн пшениці. А 184 мільярди тонн - це досить багато, чи не так?

Ці цифри зростають досить швидко пізніше для експоненціального зростання, чи не так? Така ж логіка стосується і комп’ютерних алгоритмів. Якщо необхідні зусилля для виконання завдання зростатимуть в геометричній прогресії щодо розміру вхідних даних, це може в кінцевому підсумку стати надзвичайно великим.

Тепер квадрат 64 дорівнює 4096. Якщо додати це число до 2⁶⁴, воно буде втрачено поза значущими цифрами. Ось чому, дивлячись на темпи зростання, ми дбаємо лише про домінуючі умови. Оскільки ми хочемо проаналізувати зростання щодо розміру вхідних даних, коефіцієнти, які лише множать число, а не зростають із розміром введення, не містять корисної інформації.

Нижче наведено офіційне визначення великого O:

Формальне визначення є корисним, коли вам потрібно виконати математичну перевірку. Наприклад, складність часу для сортування виділення може бути визначена функцією f (n) = n² / 2-n / 2, як ми обговорювали в попередньому розділі.

Якщо ми дозволимо нашій функції g (n) бути n², ми можемо знайти константу c = 1 і a N a = 0, і поки N> N₀, N² завжди буде більшою за N² / 2-N / 2. Ми можемо легко це довести, віднявши N² / 2 з обох функцій, тоді ми можемо легко побачити, що N² / 2> -N / 2 відповідає дійсності, коли N> 0. Отже, ми можемо зробити висновок, що f (n) = O (n²), в іншому сортуванні виділення є “великий O у квадраті”.

You might have noticed a little trick here. That is, if you make g(n) grow supper fast, way faster than anything, O(g(n)) will always be great enough. For example, for any polynomial function, you can always be right by saying that they are O(2ⁿ) because 2ⁿ will eventually outgrow any polynomials.

Mathematically, you are right, but generally when we talk about Big O, we want to know the tight bound of the function. You will understand this more as you read through the next section.

But before we go, let’s test your understanding with the following question. The answer will be found in later sections so it won’t be a throw away.

Питання: Зображення представлене двовимірним масивом пікселів. Якщо ви використовуєте вкладений цикл for для ітерації кожного пікселя (тобто у вас є цикл for, що проходить через усі стовпці, а потім інший цикл for, щоб пройти через всі рядки), яка часова складність алгоритму, коли зображення вважається вхідним?

3. Big O, Little O, Omega & Theta

Велике O: "f (n) - O (g (n))" iff для деяких констант c і N₀, f (N) ≤ cg (N) для всіх N> N₀Omega: "f (n) - Ω (g ( n)) "iff для деяких констант c і N₀, f (N) ≥ cg (N) для всіх N> N₀Тета:" f (n) - Θ (g (n)) ", якщо f (n) - O (g (n)) і f (n) дорівнює Ω (g (n)) Маленьке O: „f (n) дорівнює o (g (n))”, якщо f (n) дорівнює O (g (n)) та f ( n) не є Θ (g (n)) - Формальне визначення великого O, омега, тета та маленьке O

Простими словами:

  • Big O (O()) describes the upper bound of the complexity.
  • Omega (Ω()) describes the lower bound of the complexity.
  • Theta (Θ()) describes the exact bound of the complexity.
  • Little O (o()) describes the upper bound excluding the exact bound.

For example, the function g(n) = n² + 3n is O(n³), o(n⁴), Θ(n²) and Ω(n). But you would still be right if you say it is Ω(n²) or O(n²).

Generally, when we talk about Big O, what we actually meant is Theta. It is kind of meaningless when you give an upper bound that is way larger than the scope of the analysis. This would be similar to solving inequalities by putting ∞ on the larger side, which will almost always make you right.

But how do we determine which functions are more complex than others? In the next section you will be reading, we will learn that in detail.

4. Complexity Comparison Between Typical Big Os

When we are trying to figure out the Big O for a particular function g(n), we only care about the dominant term of the function. The dominant term is the term that grows the fastest.

For example, n² grows faster than n, so if we have something like g(n) = n² + 5n + 6, it will be big O(n²). If you have taken some calculus before, this is very similar to the shortcut of finding limits for fractional polynomials, where you only care about the dominant term for numerators and denominators in the end.

But which function grows faster than the others? There are actually quite a few rules.

1. O(1) has the least complexity

Often called “constant time”, if you can create an algorithm to solve the problem in O(1), you are probably at your best. In some scenarios, the complexity may go beyond O(1), then we can analyze them by finding its O(1/g(n)) counterpart. For example, O(1/n) is more complex than O(1/n²).

2. O(log(n)) is more complex than O(1), but less complex than polynomials

As complexity is often related to divide and conquer algorithms, O(log(n)) is generally a good complexity you can reach for sorting algorithms. O(log(n)) is less complex than O(√n), because the square root function can be considered a polynomial, where the exponent is 0.5.

3. Complexity of polynomials increases as the exponent increases

For example, O(n⁵) is more complex than O(n⁴). Due to the simplicity of it, we actually went over quite many examples of polynomials in the previous sections.

4. Exponentials have greater complexity than polynomials as long as the coefficients are positive multiples of n

O(2ⁿ) is more complex than O(n⁹⁹), but O(2ⁿ) is actually less complex than O(1). We generally take 2 as base for exponentials and logarithms because things tends to be binary in Computer Science, but exponents can be changed by changing the coefficients. If not specified, the base for logarithms is assumed to be 2.

5. Factorials have greater complexity than exponentials

If you are interested in the reasoning, look up the Gamma function, it is an analytic continuation of a factorial. A short proof is that both factorials and exponentials have the same number of multiplications, but the numbers that get multiplied grow for factorials, while remaining constant for exponentials.

6. Multiplying terms

When multiplying, the complexity will be greater than the original, but no more than the equivalence of multiplying something that is more complex. For example, O(n * log(n)) is more complex than O(n) but less complex than O(n²), because O(n²) = O(n * n) and n is more complex than log(n).

To test your understanding, try ranking the following functions from the most complex to the lease complex. The solutions with detailed explanations can be found in a later section as you read. Some of them are meant to be tricky and may require some deeper understanding of math. As you get to the solution, you will understand them more.

Запитання: Класифікуйте наступні функції від найскладніших до складних. Рішення запитання до розділу 2: насправді це було задумано, щоб перевірити ваше розуміння. Питання намагається змусити вас відповісти O (n²), оскільки існує вкладений цикл for. Однак n має бути введеним розміром. Оскільки масив зображень є вхідним, і кожен піксель був повторений лише один раз, відповідь насправді O (n). У наступному розділі буде розглянуто більше таких прикладів.

5. Складність часу та простору

So far, we have only been discussing the time complexity of the algorithms. That is, we only care about how much time it takes for the program to complete the task. What also matters is the space the program takes to complete the task. The space complexity is related to how much memory the program will use, and therefore is also an important factor to analyze.

The space complexity works similarly to time complexity. For example, selection sort has a space complexity of O(1), because it only stores one minimum value and its index for comparison, the maximum space used does not increase with the input size.

Some algorithms, such as bucket sort, have a space complexity of O(n), but are able to chop down the time complexity to O(1). Bucket sort sorts the array by creating a sorted list of all the possible elements in the array, then increments the count whenever the element is encountered. In the end the sorted array will be the sorted list elements repeated by their counts.

6. Best, Average, Worst, Expected Complexity

The complexity can also be analyzed as best case, worst case, average case and expected case.

Let’s take insertion sort, for example. Insertion sort iterates through all the elements in the list. If the element is larger than its previous element, it inserts the element backwards until it is larger than the previous element.

If the array is initially sorted, no swap will be made. The algorithm will just iterate through the array once, which results a time complexity of O(n). Therefore, we would say that the best-case time complexity of insertion sort is O(n). A complexity of O(n) is also often called linear complexity.

Sometimes an algorithm just has bad luck. Quick sort, for example, will have to go through the list in O(n) time if the elements are sorted in the opposite order, but on average it sorts the array in O(n * log(n)) time. Generally, when we evaluate time complexity of an algorithm, we look at their worst-case performance. More on that and quick sort will be discussed in the next section as you read.

The average case complexity describes the expected performance of the algorithm. Sometimes involves calculating the probability of each scenarios. It can get complicated to go into the details and therefore not discussed in this article. Below is a cheat-sheet on the time and space complexity of typical algorithms.

Solution to Section 4 Question:

By inspecting the functions, we should be able to immediately rank the following polynomials from most complex to lease complex with rule 3. Where the square root of n is just n to the power of 0.5.

Then by applying rules 2 and 6, we will get the following. Base 3 log can be converted to base 2 with log base conversions. Base 3 log still grows a little bit slower then base 2 logs, and therefore gets ranked after.

The rest may look a little bit tricky, but let’s try to unveil their true faces and see where we can put them.

First of all, 2 to the power of 2 to the power of n is greater than 2 to the power of n, and the +1 spices it up even more.

And then since we know 2 to the power of log(n) with based 2 is equal to n, we can convert the following. The log with 0.001 as exponent grows a little bit more than constants, but less than almost anything else.

The one with n to the power of log(log(n)) is actually a variation of the quasi-polynomial, which is greater than polynomial but less than exponential. Since log(n) grows slower than n, the complexity of it is a bit less. The one with the inverse log converges to constant, as 1/log(n) diverges to infinity.

Розділювачі факторів можуть бути представлені множеннями, і, отже, можуть бути перетворені на додавання поза логарифмічною функцією. "N вибрати 2" можна перетворити на багаточлен з найбільшим кубічним доданком.

І нарешті, ми можемо класифікувати функції від найскладніших до найменш складних.

Чому BigO не має значення

!!! - УВАГА - !!! Зміст, що обговорюється тут, зазвичай не приймається більшістю програмістів у світі. Обговоріть це на свій страх і ризик під час співбесіди. Люди насправді писали в блогах про те, як вони провалили свої інтерв’ю в Google, оскільки ставили під сумнів владу, як тут. !!! - УВАГА - !!!

Since we have previously learned that the worst case time complexity for quick sort is O(n²), but O(n * log(n)) for merge sort, merge sort should be faster — right? Well you probably have guessed that the answer is false. The algorithms are just wired up in a way that makes quick sort the “quick sort”.

To demonstrate, check out this trinket.io I made. It compares the time for quick sort and merge sort. I have only managed to test it on arrays with a length up to 10000, but as you can see so far, the time for merge sort grows faster than quick sort. Despite quick sort having a worse case complexity of O(n²), the likelihood of that is really low. When it comes to the increase in speed quick sort has over merge sort bounded by the O(n * log(n)) complexity, quick sort ends up with a better performance in average.

I have also made the below graph to compare the ratio between the time they take, as it is hard to see them at lower values. And as you can see, the percentage time taken for quick sort is in a descending order.

The moral of the story is, Big O notation is only a mathematical analysis to provide a reference on the resources consumed by the algorithm. Practically, the results may be different. But it is generally a good practice trying to chop down the complexity of our algorithms, until we run into a case where we know what we are doing.

In the end…

I like coding, learning new things and sharing them with the community. If there is anything in which you are particularly interested, please let me know. I generally write on web design, software architecture, mathematics and data science. You can find some great articles I have written before if you are interested in any of the topics above.

Hope you have a great time learning computer science!!!