Метод Ейлера, пояснений на прикладах

Що таке метод Ейлера?

Метод Ейлера - це числова процедура першого порядку для розв’язання звичайних диференціальних рівнянь (ODE) із заданим початковим значенням.

Загальна проблема початкової вартості

Методологія

Метод Ейлера використовує просту формулу,

побудувати дотичну в точці xі отримати значення y(x+h), нахил якого дорівнює,

У методі Ейлера ви можете наблизити криву розчину дотичною у кожному інтервалі (тобто послідовністю коротких відрізків лінії) з кроком h.

Загалом , якщо ви використовуєте невеликий розмір кроку, точність наближення збільшується.

Загальна формула

Функціональне значення в будь-якій точці b, заданеy(b)

де,

  • n = кількість кроків
  • h = ширина інтервалу (розмір кожного кроку)

Псевдокод

Приклад

Знайти y(1), дано

Вирішуючи аналітично, рішенням є y = ex та y(1)= 2.71828. (Примітка: Це аналітичне рішення призначене лише для порівняння точності.)

Використовуючи метод Ейлера, враховуючи h= 0.2, 0.1, 0.01ви можете побачити результати на діаграмі нижче.

Коли h= 0.2, y(1)= 2.48832(помилка = 8,46%)

Коли h= 0.1, y(1)= 2.59374(помилка = 4,58%)

Коли h= 0.01, y(1)= 2.70481(помилка = 0,50%)

Ви можете помітити, як точність покращується, коли кроки невеликі.