Що таке метод Ейлера?
Метод Ейлера - це числова процедура першого порядку для розв’язання звичайних диференціальних рівнянь (ODE) із заданим початковим значенням.
Загальна проблема початкової вартості

Методологія
Метод Ейлера використовує просту формулу,

побудувати дотичну в точці x
і отримати значення y(x+h)
, нахил якого дорівнює,


У методі Ейлера ви можете наблизити криву розчину дотичною у кожному інтервалі (тобто послідовністю коротких відрізків лінії) з кроком h
.
Загалом , якщо ви використовуєте невеликий розмір кроку, точність наближення збільшується.
Загальна формула


Функціональне значення в будь-якій точці b
, заданеy(b)

де,
- n = кількість кроків
- h = ширина інтервалу (розмір кожного кроку)
Псевдокод

Приклад
Знайти y(1)
, дано

Вирішуючи аналітично, рішенням є y = ex та y(1)
= 2.71828
. (Примітка: Це аналітичне рішення призначене лише для порівняння точності.)
Використовуючи метод Ейлера, враховуючи h
= 0.2
, 0.1
, 0.01
ви можете побачити результати на діаграмі нижче.

Коли h
= 0.2
, y(1)
= 2.48832
(помилка = 8,46%)
Коли h
= 0.1
, y(1)
= 2.59374
(помилка = 4,58%)
Коли h
= 0.01
, y(1)
= 2.70481
(помилка = 0,50%)
Ви можете помітити, як точність покращується, коли кроки невеликі.