Бульова підручник з таблиці істинної алгебри - Пояснення XOR, NOR та логічних символів

Ми всі любимо комп’ютери. Вони можуть зробити стільки дивовижних речей. За пару десятиліть комп’ютери повністю змінили майже всі аспекти людського життя.

Вони можуть виконувати завдання різного ступеня витонченості, просто перевертаючи нулі та одиниці. Чудово бачити, як така проста дія може призвести до такої складності.

Але я впевнений, що ви всі знаєте, що такої складності неможливо досягти (практично), лише випадковим чином перевертаючи цифри. За цим справді є певні міркування. Існують правила, які регулюють спосіб, яким це слід робити. У цій статті ми обговоримо ці правила і побачимо, як вони керують способом мислення комп’ютерів.

Що таке булева алгебра?

Правила, про які я згадав вище, описуються полем математики, яке називається булевою алгеброю.

У своїй книзі 1854 року британський математик Джордж Бул запропонував систематизований набір правил для маніпулювання цінностями істини. Ці правила дали математичну основу для роботи з логічними положеннями. Ці набори основ призвели до розвитку булевої алгебри.

Щоб найкраще зрозуміти булеву алгебру, ми спочатку повинні зрозуміти подібність та відмінність булевої алгебри від інших форм алгебри.

Алгебра, загалом, займається вивченням математичних символів та операціями, які можна виконувати над цими символами.

Ці символи не мають власного значення. Вони представляють якусь іншу величину. Саме ця величина надає деяке значення цим символам, і саме ця величина фактично виконується операціями.

Булева алгебра також має справу із символами та правилами, що регулюють операції з цими символами, але різниця полягає в тому, що ці символи представляють .

У випадку звичайної алгебри символи представляють дійсні числа, тоді як у булевій алгебрі вони представляють значення істини.

На зображенні нижче показано весь набір Дійсних чисел. Набір Дійсних чисел включає Натуральні числа (1, 2, 3, 4 ....), Цілі числа (усі Натуральні числа та 0), Цілі числа (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) тощо. Звичайна алгебра має справу з цілим набором чисел.

Для порівняння значення «Істина» складаються з набору лише двох значень: False та True. Тут я хотів би зазначити той факт, що ми можемо використовувати будь-який інший символ для представлення цих значень.

Наприклад, в Інформатиці ми в основному представляємо ці значення, використовуючи 0 і 1. 0 використовується для False і 1 для True.

Ви також можете зробити це більш химерними способами, представляючи цінності істини за допомогою деяких інших символів, таких як Кішки та собаки або Банани та апельсини.

Справа в тому, що внутрішнє значення цих символів залишатиметься незмінним незалежно від того, який символ ви використовуєте. Але переконайтеся, що ви не змінювали символи під час виконання операцій.

Тепер питання в тому, що якщо (True і False), (0 і 1) - це лише уявлення, то що вони намагаються представити?

Основний сенс цінностей істини походить з поля логіки, де цінності істини використовуються для того, щоб визначити, чи є пропозиція "Істинною" чи "Неправдивою". Тут цінності істини представляють відношення судження до істини, тобто чи є твердження істинним чи хибним.

Пропозиція - це просто вислів на кшталт "Усі коти милі".

Якщо наведене вище твердження відповідає дійсності, тоді ми присвоюємо йому значення істини "True" або "1", інакше ми призначаємо це "False" або "0".

У цифровій електроніці значення істини використовуються для представлення станів "Увімкнено" та "Вимкнено" електронних схем. Про це ми поговоримо далі в цій статті.

Булеві операції та таблиці правди

Подібно до звичайної алгебри, булева алгебра також має операції, які можна застосувати до значень, щоб отримати деякі результати. Хоча ці операції не схожі на операції у звичайній алгебрі, оскільки, як ми вже обговорювали раніше, булева алгебра працює над значеннями Істини, а не Реальними Числами.

Булева алгебра має три основні операції.

АБО : Також відомий як диз’юнкція . Ця операція виконується над двома булевими змінними. Результатом операції АБО буде 0, коли обидва операнди дорівнюють 0, інакше буде 1.

Щоб отримати більш чітке уявлення про те, що робить ця операція, ми можемо візуалізувати це за допомогою таблиці правди нижче.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

І : Також відомий як Кон’юнкція . Ця операція виконується над двома булевими змінними. Вихід операцій AND буде 1, коли обидва операнди дорівнюють 1, інакше буде 0. Представлення таблиці істинності є таким.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

ПРИМІТКА : Також відомий як Заперечення . Ця операція виконується лише з однією змінною. Якщо значення змінної дорівнює 1, то ця операція просто перетворює її в 0, а якщо значення змінної дорівнює 0, тоді вона перетворює її в 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Булева алгебра та цифрові схеми

Після свого початкового розвитку булева алгебра дуже довгий час залишалася однією з тих концепцій в математиці, яка не мала значних практичних застосувань.

У 30-х роках Клод Шеннон, американський математик, зрозумів, що булева алгебра може бути використана в ланцюгах, де двійкові змінні можуть представляти сигнали "низької" та "високої" напруги або стану "увімкнено" та "вимкнено".

Ця проста ідея створення схем за допомогою булевої алгебри призвела до розвитку цифрової електроніки, яка зробила великий внесок у розробку схем для комп'ютерів.

Цифрові схеми реалізують булеву алгебру за допомогою Logic Gates. Логічні ворота - це схеми, що представляють логічну операцію. Наприклад, ворота АБО буде представляти операцію АБО. Те саме стосується і воріт NOT і AND.

Поряд з основними логічними воротами ми також маємо логічні ворота, які можна створити за допомогою комбінації основних логічних шлюзів.

NAND : ворота NAND утворені комбінацією воріт NOT і AND. Шлюз NAND дає вихід 0, якщо обидва входи 1, інакше 1.

Шлюз NAND має властивість функціональної повноти, що означає, що будь-яка логічна функція може бути реалізована лише за допомогою комбінації лише шлюзів NAND.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR : ворота NOR утворені комбінацією воріт NOT і OR. Шлюз NOR дає вихід 1, якщо обидва входи дорівнюють 0, інакше 0.

NOR-шлюз, як і NAND-шлюз, має властивість функціональної повноти, що означає, що будь-яка логічна функція може бути реалізована лише за допомогою комбінації лише NOR-воріт.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Більшість цифрових схем будуються з використанням воріт NAND або NOR через їх функціональну властивість повноти, а також тому, що їх легко виготовити.

Окрім вищезазначених воріт, ми також маємо якийсь особливий вид воріт, які слугують певним цілям. Вони такі:

XOR : Шлюз XOR або Ексклюзивно-АБО - це особливий тип логічних воріт, які дають 0 як вихід, якщо обидва входи або 0, або 1, інакше він дає 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : Шлюз XNOR або Ексклюзивний-NOR - це особливий тип логічних воріт, що дає 1 як вихід, коли обидва входи або 0, або 1, інакше він дає 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Висновок

Отже, з усім тим, що ми зараз можемо завершити нашу дискусію щодо булевої алгебри тут. Сподіваюся, на даний момент у вас є гідна картина того, що таке булева алгебра.

Це точно не все, що вам потрібно знати про булеву алгебру. Булева алгебра має багато концепцій та деталей, які ми не змогли обговорити в цій статті.