Бінарні дерева пошуку: BST пояснюється прикладами

Що таке бінарне дерево пошуку?

Дерево - це структура даних, що складається з вузлів, що має такі характеристики:

  1. Кожне дерево має кореневий вузол вгорі (також відомий як батьківський вузол), що містить деяке значення (може бути будь-якого типу даних).
  2. Кореневий вузол має нуль або більше дочірніх вузлів.
  3. Кожен дочірній вузол має нуль або більше дочірніх вузлів тощо. Це створює піддерево в дереві. Кожен вузол має власне піддерево, яке складається з його дітей та їх дітей тощо. Це означає, що кожен вузол сам по собі може бути деревом.

Бінарне дерево пошуку (BST) додає ці дві характеристики:

  1. Кожен вузол має максимум до двох дітей.
  2. Для кожного вузла значення його лівих низхідних вузлів менше, ніж поточного вузла, а це, в свою чергу, менше правих низхідних вузлів (якщо такі є).

BST побудований на ідеї двійкового алгоритму пошуку, який дозволяє швидко шукати, вставляти та видаляти вузли. Спосіб їх налаштування означає, що в середньому кожне порівняння дозволяє операціям пропустити приблизно половину дерева, так що кожен пошук, вставка чи видалення займає час, пропорційний логарифму кількості елементів, що зберігаються в дереві,   O(log n). Однак іноді може трапитися найгірший випадок, коли дерево не збалансовано, а складність часу -   O(n)  для всіх трьох цих функцій. Ось чому самобалансуючі дерева (AVL, червоно-чорні тощо) набагато ефективніші, ніж базові BST.

Приклад найгіршого сценарію:  Це може статися, коли ви продовжуєте додавати вузли, які   завжди  більші за вузол раніше (його батьківський), те саме може статися, коли ви завжди додаєте вузли зі значеннями, нижчими за їх батьків.

Основні операції на BST

  • Створити: створює порожнє дерево.
  • Вставити: вставити вузол у дерево.
  • Пошук: пошук вузла у дереві.
  • Видалити: видаляє вузол з дерева.
  • Inorder: обхід дерева в порядку.
  • Попереднє замовлення: попереднє замовлення обходу дерева.
  • Поштове замовлення: обхід дерева після замовлення.

Створити

Спочатку створюється порожнє дерево без будь-яких вузлів. Змінна / ідентифікатор, який повинен вказувати на кореневий вузол, ініціалізується зі   NULL  значенням.

Пошук

Ви завжди починаєте пошук у дереві на кореневому вузлі і спускаєтесь звідти. Ви порівнюєте дані в кожному вузлі з тим, який ви шукаєте. Якщо порівнюваний вузол не збігається, ви переходите до правої або лівої дочірньої дитини, що залежить від результату наступного порівняння: Якщо вузол, який ви шукаєте, нижчий за той, з яким ви його порівнювали, ви переходите до лівої дитини, інакше (якщо вона більша) ви йдете до правої дитини. Чому? Оскільки BST структурований (згідно з його визначенням), права дитина завжди більша за батьківську, а ліва дитина завжди менша.

Пошук по ширині (BFS)

Широкий перший пошук - це алгоритм, який використовується для обходу BST. Він починається з кореневого вузла і подорожує бічним способом (з боку в бік), шукаючи потрібний вузол. Цей тип пошуку можна описати як O (n), враховуючи, що кожен вузол відвідується один раз, і розмір дерева безпосередньо корелює з тривалістю пошуку.

Пошук по глибині (DFS)

З підходом до пошуку глибини ми починаємо з кореневого вузла і рухаємося по одній гілці. Якщо потрібний вузол знайдений уздовж цієї гілки, чудово, але якщо ні, продовжуйте вгору та шукайте невідвідані вузли. Цей тип пошуку також має великі O-позначення O (n).

Вставити

Це дуже схоже на функцію пошуку. Ви знову починаєте з кореня дерева і спускаєтесь рекурсивно вниз, шукаючи потрібне місце, щоб вставити наш новий вузол, так само, як це пояснено в функції пошуку. Якщо вузол з однаковим значенням вже є у дереві, ви можете вибрати вставити дублікат чи ні. Деякі дерева допускають дублікати, інші - ні. Це залежить від певної реалізації.

Видалення

Є три випадки, які можуть статися, коли ви намагаєтесь видалити вузол. Якщо так,

  1. Немає піддерева (немає дітей): це найпростіший. Ви можете просто видалити вузол, не вимагаючи додаткових дій.
  2. Одне піддерево (одна дочірня): Ви повинні переконатися, що після видалення вузла його дочірня частина підключається до батьківського елемента видаленого вузла.
  3. Два піддерева (двоє дітей): Ви повинні знайти та замінити вузол, який ви хочете видалити, його наступником inorder (крайній лівий вузол у правому піддереві).

Складність часу для створення дерева становить   O(1). Складність часу для пошуку, вставки або видалення вузла залежить від висоти дерева   h, тому найгірший випадок   O(h)  у випадку перекошених дерев.

Попередник вузла

Попередників можна описати як вузол, який з’явиться безпосередньо перед тим вузлом, на якому ви перебуваєте. Щоб знайти попередника поточного вузла, подивіться на самий правий / найбільший листовий вузол у лівому піддереві.

Наступник вузла

Наступники можна описати як вузол, який з’явиться відразу після поточного вузла. Щоб знайти наступника поточного вузла, подивіться на самий лівий / найменший листовий вузол у правому піддереві.

Особливі типи БТ

  • Купи
  • Червоно-чорне дерево
  • B-дерево
  • Splay дерево
  • N-арне дерево
  • Trie (дерево Radix)

Час роботи

Структура даних: BST

  • Найгірша продуктивність:  O(n)
  • Найкраща робота:  O(1)
  • Середня продуктивність:  O(log n)
  • Найгірша космічна складність:  O(1)

Де   n  кількість вузлів у BST. Найгірший випадок - O (n), оскільки BST може бути незбалансованим.

Впровадження BST

Ось визначення вузла BST, який має деякі дані, посилаючись на його лівий та правий дочірні вузли.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; }; 

Пошукова операція

Кожного разу, коли елемент потрібно шукати, починайте пошук із кореневого вузла. Тоді, якщо дані менше ключового значення, знайдіть елемент у лівому піддереві. В іншому випадку шукайте елемент у потрібному піддереві. Дотримуйтесь одного і того ж алгоритму для кожного вузла.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; } 

Операція вставки

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } } 

Delete Operation

void deleteNode(struct node* root, int data){ if (root == NULL) root=tempnode; if (data key) root->left = deleteNode(root->left, key); else if (key > root->key) root->right = deleteNode(root->right, key); else { if (root->left == NULL) { struct node *temp = root->right; free(root); return temp; } else if (root->right == NULL) { struct node *temp = root->left; free(root); return temp; } struct node* temp = minValueNode(root->right); root->key = temp->key; root->right = deleteNode(root->right, temp->key); } return root; } 

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let's look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it's very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We're 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.
  • So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right)) 

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } } 

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.
  • Otherwise, we have the number of nodes in the left child plus 1 for ourselves plus the number of nodes in the right child. So 1 plus the size of the left tree plus the size of the right tree.

Size(tree) algorithm

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right) 

Here is the code in C++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); } 

Traversal

There are 3 kinds of traversals that are done typically over a binary search tree. All these traversals have a somewhat common way of going over the nodes of the tree.

In-order

This traversal first goes over the left subtree of the root node, then accesses the current node, followed by the right subtree of the current node. The code represents the base case too, which says that an empty tree is also a binary search tree.

void inOrder(struct node* root) { // Base case if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. inOrder(root.left); // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the right sub-tree next. inOrder(root.right); } 

Pre-order

This traversal first accesses the current node value, then traverses the left and right sub-trees respectively.

void preOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the left sub-tree first. preOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. preOrder(root.right); } 

Post-order

This traversal puts the root value at last, and goes over the left and right sub-trees first. The relative order of the left and right sub-trees remain the same. Only the position of the root changes in all the above mentioned traversals.

void postOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. postOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. postOrder(root.right); // Print the current node value printf("%d ", root.data); } 

Relevant videos on freeCodeCamp YouTube channel

And Binary Search Tree: Traversal and Height

Following are common types of Binary Trees:

Full Binary Tree/Strict Binary Tree: A Binary Tree is full or strict if every node has exactly 0 or 2 children.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 

In Full Binary Tree, number of leaf nodes is equal to number of internal nodes plus one.

Complete Binary Tree: A Binary Tree is complete Binary Tree if all levels are completely filled except possibly the last level and the last level has all keys as left as possible

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9 

Perfect Binary Tree A Binary tree is Perfect Binary Tree in which all internal nodes have two children and all leaves are at the same level.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 

Augmenting a BST

Sometimes we need to store some additional information with the traditional data structures to make our tasks easier. For example, consider a scenario where you are supposed to find the ith smallest number in a set. You can use brute force here but we can reduce the complexity of the problem to O(lg n) by augmenting a red-black or any self-balancing tree (where n is the number of elements in the set). We can also compute rank of any element in O(lg n) time. Let us consider a case where we are augmenting a red-black tree to store the additional information needed. Besides the usual attributes, we can store number of internal nodes in the subtree rooted at x(size of the subtree rooted at x including the node itself). Let x be any arbitrary node of a tree.

x.size = x.left.size + x.right.size + 1

While augmenting the tree, we should keep in mind, that we should be able to maintain the augmented information as well as do other operations like insertion, deletion, updating in O(lg n) time.

Since, we know that the value of x.left.size will give us the number of nodes which proceed x in the order traversal of the tree. Thus, x.left.size + 1 is the rank of x within the subtree rooted at x.