Завершення формули квадрата: як заповнити квадрат квадратним рівнянням

Розглянемо таке квадратне рівняння: x2 = 9 . Якщо нас попросять її вирішити, ми природно взяли б квадратний корінь із 9 і в кінцевому підсумку отримали 3 та -3 . Але що, якщо прості методи квадратного кореня не допоможуть? Що робити, якщо рівняння включає х, підняте до першого ступеня, і не може бути легко розкладене на фактори?

На щастя, існує спосіб заповнення квадрата . Як результат, квадратне рівняння можна розв’язати, взявши квадратний корінь. Давайте вивчимо це поетапно разом.

Скажімо, нам дано таке рівняння:

ПРИКЛАД 1: Завершення квадрата

КРОК 1: Відокремте змінні терміни від постійного терміну

Давайте спростимо наше рівняння. Спочатку відокремте терміни, що містять змінні, від постійних. Далі відніміть x від 13x (результат 12x ) і відніміть 7 від 6 (результат -1 ).

КРОК 2: Переконайтеся, що коефіцієнт X у квадраті дорівнює 1

Метод заповнення квадрата працює набагато простіше, коли коефіцієнт x2 дорівнює1 . Коефіцієнт у нашому випадку дорівнює 4 . Розділення4 на кожного члена призводить до x2 + 3x = - 1/4 .

КРОК 3: Заповніть Квадрат

Спочатку нам потрібно знайти постійний доданок нашого повного квадрата. Коефіцієнт x , який дорівнює3 ділиться на 2 і в квадраті, отримуючи 9/4 .

Потім додаємо і віднімаємо 9/4, як показано вище. Це не впливає на наше рівняння ( 9/4 - 9/4 = 0 ), але дає нам вираз для повного квадрата x2 + 3x + 9/4 .

КРОК 4: множник Вираз X у квадраті + 3X + 9/4

Давайте тепер згадаємо більш загальне (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 і використаємо його в поточному прикладі. Підстановка наших чисел дає нам:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

КРОК 5: Візьміть квадратний корінь

Нарешті, взяття квадратного кореня з обох сторін дає нам √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Або простоx + 3/2 = ± √2 . Завершуємо це вирішенням для x : X 1 = √2 - 3/2і X 2 = - √2 - 3/2 .

ПРИКЛАД 2: Давайте вирішимо ще одне

КРОК 1: Відокремте змінні терміни від постійного терміну

Спростіть, відокремлюючи терміни зі змінними від постійних. Потім виконайте віднімання та додавання по обидві сторони рівняння.

КРОК 2: Переконайтесь, що коефіцієнт x у квадраті дорівнює 1

Тут коефіцієнт X2 вже дорівнює 1 , тому подальших дій не потрібно.

КРОК 3: Заповніть Квадрат

Як і в попередньому прикладі, ми знаходимо постійний доданок нашого повного квадрата. Коефіцієнт x , який дорівнює-8 ділиться на 2 і в квадраті, отримуючи 16 .

Ми додаємо і віднімаємо 16 і бачимо, що x2 - 8x + 16 дає нам повний квадрат.

КРОК 4: Коефіцієнт Вираз X у квадраті - 8X + 16

Оскільки постійний доданок -8 має знак мінус, ми використовуємо такий загальний вигляд: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Використання наших чисел дає нам: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

КРОК 5: Візьміть квадратний корінь

Нарешті, взяття квадратного кореня з обох сторін дає нам √ (x - 4) 2 = ± √11 . Або простоx - 4 = ± √11 . Завершуємо це вирішенням для x : X 1 = 4 + √11і X 2 = 4 - √11

І ось вам!